Fortgeschrittene Mathematik
Inhalt der Vorlesung
Im Mittelpunkt der Veranstaltung stehen die drei folgenden Probleme:
- Finden Sie alle Lösungen der Gleichung f(x) = 0.
- Bestimmen Sie die globalen Maximal- bzw. Minimalstellen einer Funktion y = f(x) auf einer bestimmten Menge S.
- Lösen Sie das Anfangswertproblem einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung.
Die Problemfelder werden ökonomisch motiviert. Der Aufbau erfolgt mit angemessener mathematischer Strenge und auch zentrale Beweise werden besprochen und geprüft. Insbesondere wird auch auf numerische Verfahren eingegangen und die Programme GeoGebra und Maple werden vorgestellt und genutzt.
Der in den Vorlesungen Mathematik 1 und Mathematik 2 (1. Hälfte) behandelte Stoff wird benötigt und als bekannt vorausgesetzt.
Organisatorisches
Kurse
Dienstag, 03.09. - Donnerstag, 12.09.2019 | 9:15 - 13:00 Uhr | S5
Es besteht keine Anwesenheitspflicht in den Kursen.
Übung/Hausarbeit
Es muss eine persönliche Übung/Hausarbeit zu den Themen des Kurses bearbeitet und pünktlich eingereicht (persönlich direkt oder per Email) werden.
Download: Hausarbeit
Abgabe: Montag, 30.09.2019, 12:00 Uhr
Die Übung/Hausarbeit wird benotet (Vornote). Die Vornote (mit dem Gewicht von 1/3) und die Prüfungsnote (mit dem Gewicht von 2/3) ergeben die Endnote.
Lehrmittel
Primäre Literatur: Skripte zur Vorlesung
Ergänzende Literatur:
- Sydsaeter K., Hammond P., Seierstad A., Strom A.: Further Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall.
- Chiang, Alpha C.: Fundamental Methods of Mathematical Economics, McGraw-Hill International Editions.
Software:
- GeoGebra ist eine kostenlose dynamische Mathematiksoftware für Schüler und Studenten. GeoGebra unterstützt innovatives Lernen im Fach Mathematik und Statistik und kann von der Homepage www.geogebra.orgherunter geladen und (meist problemlos) auf dem privaten Rechner (Laptop, Tablett oder auch Natel) installiert werden.
- Maple ist ein mächtiges Computeralgebra-System, das aber auch für numerische Berechnungen nutzbar ist. Sie können das Programm über die IT-Services der Universität Basel https://its.unibas.ch/ beziehen und auf Ihrem privaten Rechner installieren.
Natürlich können Sie Ihren (kleinen und aufgeladenen) Rechner auch mitbringen. Beachten Sie aber, dass der Platz im Hörsaal beschränkt ist.
Prüfung
Allgemeines:
Am Ende des Kurses findet eine 1.5-stündige Prüfung statt, die wie folgt zusammengestellt ist:
- etwa 70 % der Aufgaben orientieren sich am Stoff der Übungen (und an den (Beispiel) Aufgaben, die im Skript enthalten bzw. während der Vorlesungen besprochen wurden)
- etwa 30 % der Aufgaben prüfen direkt den Stoff der Vorlesung (Definitionen, Verständnis der zentralen Konzepte, zentrale Beweise und Herleitungen)
Zugelassene Hilfsmittel:
- elektronische Hilfsmittel: Zur Prüfung sind ausschliesslich einfache Taschenrechner gemäss Studienordnung zugelassen.
- nichtelektronische Hilfsmittel: open book
Prüfungszeit und Prüfungsort:
Donnerstag, 17.10.2019 um 9:00 Uhr im Auditorium (WWZ)
Problem 1
Sei y=f(x) eine Funktion. Finden Sie alle Lösungen der Gleichung f(x)=0.
Download: Skript 1
Geogebradateien: Fixpunktiteration, Newton-Verfahren
| Tag | Thema |
|---|---|
| Di, 03.09.19, 10-13 Uhr | Grundlagen: Komplexe Zahlen und kontraktive Abbildungen |
| Mi, 04.09.19, 9-13 Uhr | Banachscher Fixpunktsatz und numerische Verfahren |
Problem 2
Sei y=f(x) eine Funktion und S eine Teilmenge von IRn. Bestimmen Sie die globalen Maximal- bzw. Minimalstellen von f auf S.
Download: Skript 2
Geogebradateien:
| Tag | Thema |
|---|---|
| Do, 05.09.19, 9-13 Uhr | IRn, Funktionen, Gradient, Hessematrix, Taylorformel und lokale Extremalstellen |
| Fr, 06.09.19, 9-13 Uhr | Lagrange-Verfahren, Kuhn-Tucker-Verfahren |
| Mo, 09.09.19, 9-13 Uhr | Lagrange-Verfahren, Kuhn-Tucker-Verfahren |
| Di, 10.09.19, 9-13 Uhr | Übungsaufgaben |
Problem 3
Sei y'=f(x, y) eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit der Anfangsbedingung y(x0) = y0. Finden Sie die Lösung des Anfangswertproblems.
Download: Skript 3
| Tag | Thema | |
|---|---|---|
| Mi, 11.09.19, 9-13 Uhr | Grundlagen und direkte Lösungsverfahren für spezielle Klassen | |
| Do, 12.09.19, 9-13 Uhr | Hausarbeit |
Benotung der Hausarbeit
| Matr.Nr. | Note |
|---|---|
| 264 | 5.3 |
| 823 | 5.0 |
| 170 | 5.1 |
| 728 | 1.0 |
| 748 | 5.5 |
| 981 | 1.0 |
| 975 | 5.5 |
| 160 | 5.1 |
| 467 | 5.0 |
| 593 | 5.1 |
| 460 | 4.5 |
| 034 | 1.0 |
| 140 | 4.5 |
| 244 | 4.1 |
| 433 | 6.0 |
| 008 | 4.3 |
| 417 | 5.1 |
| 292 | 5.2 |
Bemerkungen zur Hausarbeit
Sie können Ihre Hausarbeiten bei mir im Büro abholen. Zu folgenden Zeiten werde ich sicher im Büro sein:
Montag, 14.10.19 von 9:30 - 12:30 Uhr
Dienstag, 15.10.19 von 9:30 - 11:30 Uhr
Mittwoch, 16.10.19 von 9:30 - 11:30 Uhr
Weiterhin:
- Um zu zeigen, dass eine Funktion auf dem Intervall [1,2] monoton ist genügt es nicht die Funktion nur an den beiden Randpunkten zu untersuchen!
- Die Logig bei Kuhn-Tucker ist: Falls eine Nebenbedingung schlaff ist, dann ist der zugehörige Multiplikator gelich Null!
- Wenn Sie beweisen wollen, dass das Produkt von zwei Lösungen einer linearen Differentialgleichung keine Lösung mehr sein muss, dann müssen Sie auch mit zwei tatsächlichen Lösungen (nicht mit irgendwelchen Funktionen) starten. Denn es ist wohl klar, dass das Produkt von irgendwelchen willkürlich gewählten Funktionen (höchstwahrscheinlich) auch keine Lösung sein wird.
- Arbeiten Sie sauber alle Fallunterscheidungen ab. Hier eine Musterlösung zu Aufgabe 5.